问题描述

人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天。一个周期内有一天为峰值,在这一天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。

问题分析

首先我们要知道,任意两个峰值之间一定相距整数倍的周期。假设一年的第N天达到峰值,则下次达到峰值的时间为N+Tk(T是周期,k是任意正整数)。所以,三个峰值同时出现的那一天(S)应满足

1
  S = N1 + T1*k1 = N2 + T2*k2 = N3 + T3*k3

N1,N2,N3分别为为体力,情感,智力出现峰值的日期, T1,T2,T3分别为体力,情感,智力周期。 我们需要求出k1,k2,k3三个非负整数使上面的等式成立。

想直接求出k1,k2,k3貌似很难,但是我们的目的是求出S, 可以考虑从结果逆推。根据上面的等式,S满足三个要求:除以T1余数为N1,除以T2余数为N2,除以T3余数为N3。这样我们就把问题转化为求一个最小数,该数除以T1余N1,除以T2余N2,除以T3余N3。这就是著名的中国剩余定理,我们的老祖宗在几千年前已经对这个问题想出了一个精妙的解法。依据此解法的算法,时间复杂度可达到O(1)。下面就介绍一下中国剩余定理。

中国剩余定理介绍

在《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),七七数之剩二(除以7余2),问物几何?”这个问题称为“孙子问题”,该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步:

找出三个数:从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15,从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21,最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。 用15乘以2(2为最终结果除以7的余数),用21乘以3(3为最终结果除以5的余数),同理,用70乘以2(2为最终结果除以3的余数),然后把三个乘积相加(15*2+21*3+70*2)得到和233。 用233除以3,5,7三个数的最小公倍数105,得到余数23,即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的,有什么基本的数学依据吗?

中国剩余定理分析

我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题,从零开始,试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

首先,我们假设n1是满足除以3余2的一个数,比如2,5,8等等,也就是满足3*k+2(k>=0)的一个任意数。同样,我们假设n2是满足除以5余3的一个数,n3是满足除以7余2的一个数。

有了前面的假设,我们先从n1这个角度出发,已知n1满足除以3余2,能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2?进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2?

这就牵涉到一个最基本数学定理,如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数),换句话说,如果一个除法运算的余数为c,那么被除数与k倍的除数相加(或相减)的和(差)再与除数相除,余数不变。这个是很好证明的。

以此定理为依据,如果n2是3的倍数,n1+n2就依然满足除以3余2。同理,如果n3也是3的倍数,那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的,再从n2,n3的角度出发,我们可推导出以下三点:

  • 为使n1+n2+n3的和满足除以3余2,n2和n3必须是3的倍数。
  • 为使n1+n2+n3的和满足除以5余3,n1和n3必须是5的倍数。
  • 为使n1+n2+n3的和满足除以7余2,n1和n2必须是7的倍数。

因此,为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解,需满足:

  • n1除以3余2,且是5和7的公倍数。
  • n2除以5余3,且是3和7的公倍数。
  • n3除以7余2,且是3和5的公倍数。

所以,孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1,从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2,从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3,再将三个数相加得到解。在求n1,n2,n3时又用了一个小技巧,以n1为例,并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数,而是先找一个除以3余1的数,再乘以2。

这里又有一个数学公式,如果a%b=c,那么(a*k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc(k>0),也就是说,如果一个除法的余数为c,那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。

最后,我们还要清楚一点,n1+n2+n3只是问题的一个解,并不是最小的解。如何得到最小解?我们只需要从中最大限度的减掉掉3,5,7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以(n1+n2+n3)%105就是最终的最小解。

总结

经过分析发现,中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧,就是以下两个基本数学定理的灵活运用:

  • 如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
  • 如果 a%b=c,那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。

再看我们这道题,读入p,e,i,d 4个整数

已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i ,求n 。

解法就是:

已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i

使33×28×a被23除余1,用33×28×8=5544;

使23×33×b被28除余1,用23×33×19=14421;

使23×28×c被33除余1,用23×28×2=1288。

因此有(5544×p+14421×e+1288×i)% lcm(23,28,33) =n+d

又23、28、33互质,即lcm(23,28,33)= 21252;

所以有n=(5544×p+14421×e+1288×i-d)%21252

本题所求的是最小整数解,避免n为负,因此最后结果为n= [n+21252]% 21252

那么最终求解n的表达式就是: n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252

参考:

http://www.cnblogs.com/walker01/archive/2010/01/23/1654880.html